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Crescita esponenziale e saturazione – matematica applicata alla subacquea parte seconda

Reading Time: 8 minutes

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livello medio

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ARGOMENTO:  SUBACQUEA
PERIODO: XXI SECOLO
AREA: DIDATTICA

parole chiave: Saturazione, crescita esponenziale, significato
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Continuiamo il viaggio iniziato nell’articolo precedente, nel quale abbiamo più volte sottolineato quanto la matematica abbia un determinante ruolo operativo nel mondo delle immersioni subacquee, consentendo di caratterizzare opportunamente i fenomeni chimico-fisici tipici dell’ambiente iperbarico e quindi di pianificare, stimare, valutare, quantificare, in una sola parola tenere sotto controllo fenomeni complessi con regole semplici e facilmente applicabili. 

Questa disciplina, che quasi magicamente riesce ad interpretare e descrivere il modo fisico, ci pervade in ogni aspetto della vita più di quanto ce ne rendiamo conto. Simile al blu soffuso che ci circonda e ci avvolge durante la discesa verso il fondale durante una bella immersione in mare.  Avevamo concluso l’articolo precedente accennando alla famosa legge esponenziale, definendola il cardine della stima della tensione di inerte nei tessuti in immersione sottoposti a variazioni di pressione del gas con il quale sono a contatto, ovvero il gas respirato a pressione iperbarica

Cerchiamo ora di vederci un pò più chiaro, vista la fama e l’importanza dell’argomento.

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In questo periodo nel quale la parola pandemia ha sfortunatamente echeggiato nel sottofondo senza quasi mai lasciarci, abbiamo sentito parlare spesso di crescita esponenziale del contagio. Ciò sembra gettare una luce sinistra su tutto ciò che ha l’aggettivo esponenziale.

Abbiamo sentito spesso dire “il contagio è entrato nella fase esponenziale”… Per i più ciò significa in una fase di crescita rapidissima.  La caratteristica fondamentale di una funzione esponenziale è infatti avere la variabile,  che si chiama base, come esponente di un numero. Normalmente questa variabile è il tempo. Queste relazioni sono caratterizzate da crescita velocissima della grandezza risultante al variare di tale esponente… tanto che andamento esponenziale è divenuto sinonimo di crescita velocissima e incontrollabile.

Questa immagine ha l'attributo alt vuoto; il nome del file è uomo-che-sapeva-contare-Malba-Tahan.jpgFacciamo un breve esempio degli effetti della crescita esponenziale, divertente ma concettualmente rigoroso, raccontando la leggenda indiana di Sissa, inventore del gioco degli scacchi. Una storia nota a molti e tratta dal libro: “L’uomo che sapeva contare”, di Malba Tahan.
Sissa presentò il gioco al suo Re, che rimase entusiasta del meccanismo e soprattutto del fatto che la vittoria nel gioco dipende dalla armonia tra i pezzi più importanti e i pezzi secondari. Volle quindi ricompensare Sissa, promettendogli in premio qualunque cosa avesse chiesto.  E Sissa chiese un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, il doppio per la seconda, ancora il doppio per la terza e così via, sempre raddoppiando fino alla casella finale, la sessantaquattresima.  Al Re sembrò una richiesta molto modesta. Ma i suoi economi fecero i loro calcoli, rivelando preoccupati che il totale dei chicchi di grano calcolati per l’ultima casella, andando sempre avanti a raddoppiare, è pari ad un numero che ha dell’incredibile, precisamente 18.446.744.073.709.600.000, ovvero più di 18 miliardi di miliardi di chicchi di grano, che pesano oltre 350 miliardi di tonnellate nell’ipotesi che 50 chicchi pesino un grammo. Provare con la calcolatrice tascabile per credere. Per dare un riscontro, la produzione mondiale di riso del 2020 è stata di “soltanto” 774 milioni di tonnellate.  

Le funzioni esponenziali hanno quindi pieno diritto di essere reputate sinonimo di crescita rapida e incontrollabile. Ma tutti sappiamo che per descrivere la crescita dell’azoto disciolto nei tessuti Haldane applicò una formula esponenziale, validata ed essenzialmente conservata in tutte le successive elaborazioni, sino ai giorni nostri.  Sappiamo che la quantità di inerte calcolato con questa relazione tende a saturare, ovvero a stabilizzarsi sul livello raggiunto dopo circa 5-6 semiperiodi, ovvero alcune ore per i tessuti più lenti. 

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Disegno originale degli studi Haldane – vedete che, raggiunta la profondità massima di una immersione, la quantità di inerte disciolto nei tessuti tende a tende a stabilizzarsi, ovvero giunge alla saturazione senza più aumentare

Come mai?  
Abbiamo detto che possiamo definire la legge esponenziale come una qualunque equazione in cui la variabile indipendente (quella che siamo soliti indicare con la lettera x o ascissa) compare nella funzione matematica come esponente di un numero, detto base.
Una legge simile fu usata per la prima volta per descrivere la variazione della tensione di inerte nei tessuti di un subacqueo da John Scott Haldane e proprio in base ad essa egli sviluppò le prime tabelle decompressive della storia delle attività subacquee. 

Sappiamo bene però che, raggiunta la profondità massima di una immersione, la quantità di inerte disciolto nei tessuti tende a tende a stabilizzarsi, ovvero giunge alla saturazione senza più aumentareQuesta condizione viene raggiunta più rapidamente dai tessuti cosiddetti veloci, più lentamente da quelli più lenti.

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Una prima riflessione
La legge esponenziale, che sta sotto al meccanismo, pare quindi tradire la sua peculiare vocazione di crescita veloce e incontrollabile, che ci ricorda la velocità di diffusione delle epidemie virali.  Il segreto di questa “mutazione genetica” sta nei dettagli o meglio nei segni.  E’ un piccolo segno meno che stravolge l’aspettativa che abbiamo dalla funzione esponenziale utilizzata da Haldane, rendendola a crescita controllabile, o meglio, a crescita saturabile….  Pur restando a tutti gli effetti una funzione esponenziale…

Ecco qualche premessa per capire. 

Elevare un numero a potenza, ovvero dargli un esponente, significa moltiplicarlo per se stesso tante volte quanto è indicato dell’esponente.   Ad esempio:
5 2 = 5 x 5 = 25;                    4 3 = 4 x 4 x 4 = 32, e così via.
Ora consideriamo la funzione esponenziale   Y = 3 x.  La variabile x è l’esponente di 3, quindi il risultato della funzione, (il valore di Y), si ottiene  moltiplicando 3 per se stesso “x” volte.

Il valore di Y varierà quindi al variare di x, ad esempio:
per x= 2   →  Y = 3 2 = 9;
per x= 3   →  Y = 3 3 = 27;
per x= 4   →  Y = 3 4 = 81;e così via ..

Può un esponente essere negativo? E se si, cosa comporta?
Quando una base è elevata a potenza negativa, essa equivale ad una frazione che ha 1 al numeratore e al denominatore la stessa base elevata a potenza positiva.

Ovvero ad esempio:  3 -4 = 1/(3 4);     2 -x = 1/(2 x),    … e  così via…

Ciò comporta che all’aumentare dell’esponente, il risultato della frazione anziché diventare sempre più grande, diviene via via più piccolo, avvicinandosi sempre più lentamente a zero.

La funzione esponenziale che descrive la variazione del livello di inerte nei tessuti durante una immersione, contiene un fattore che ha per esponente il tempo trascorso dall’inizio della fase di compressione, ma che ha davanti un segno meno. Esso quindi, allo scorrere del tempo, tende a diventare nullo. Ciò fa si che la tensione di inerte nei tessuti non cresca sempre più velocemente nel tempo, ma aumenti sempre più lentamente avvicinandosi al valore di saturazione, un limite che non può superare se si rimane a profondità costante.  Questo singolare andamento della equazione di Haldane deriva dalla caratteristica fondamentale del processo di miscelazione dei gas nei liquidi: la velocità di variazione della tensione è tanto maggiore quanto il valore già raggiunto dalla tensione è basso rispetto alla pressione ambiente, (P-T). 

Appena ci immergiamo e raggiungiamo velocemente la profondità massima abbiamo una elevata pressione ambiente (P) e una tensione nei tessuti (T) scarsa. (P-T) è quindi un valore elevato, perciò la tensione cresce velocemente.  Ma via via che la tensione di inerte nei tessuti T aumenta, la quantità (P-T) si riduce, e corrispondentemente si riduce la velocità con cui T cresce. Questa legge matematica che mette in relazione una grandezza (la Tensione) e la sua velocità di variazione, prende il nome di equazione differenziale.  La soluzione di questa equazione, utilizzata da Haldane, è proprio la legge di esponenziale, che contiene la variabile tempo (t) come esponente, con segno meno, di una base fissa, pari a 2,71, il famoso numero di Nepero. La stessa equazione di Haldane regola sia la fase di aumento della tensione nei tessuti che la fase di diminuzione, impropriamente definite rispettivamente come fasi di saturazione e desaturazione.

La legge di Haldane ha delle caratteristiche quasi magiche. Intanto essa regola nello stesso modo tanti altri fenomeni fisici, che nulla hanno a che vedere son il livello di inerte nei tessuti di un subacqueo in immersione; ad esempio i processi di soluzione, diffusione, variazione di temperatura di un corpo a contatto di una sorgente termica, le variazioni di tensione di condensatori elettrici e di corrente in bobine elettriche, alcune importanti distribuzioni statistiche, il decadimento radioattivo, e così via. 

Questa immagine ha l'attributo alt vuoto; il nome del file è emitempi-di-saturazione.jpegIl modo nel quale la tensione nel tessuto varia, obbedendo alla legge esponenziale, è singolare e tipico. Esiste infatti un intervallo di tempo ben preciso, detto semiperiodo, trascorso il quale la tensione risulta aumentata della metà di quanto fatto nel semiperiodo precedente, ma che è anche pari alla metà di quanto ancora manca per raggiungere la completa saturazione. Trascorso un altro semiperiodo, questa regola vale ancora, e così via, all’infinito. Ed è proprio il semiperiodo che caratterizza univocamente un compartimento tissutale, un geniale espediente con il quale si riesce a tener conto con sufficiente realismo delle differenti velocità nell’assorbimento e rilascio di azoto da parte dei tessuti dell’organismo umano.

Questa immagine ha l'attributo alt vuoto; il nome del file è gradient-factor-30.90.png

Nella seconda metà del secolo scorso, i ricercatori Workmann e Buhlmann, (in realtà anche lo stesso Haldane) erano riusciti a sintetizzare gli effetti della curva esponenziale tramite funzioni lineari molto più semplici e immediate da gestire operativamente, i limiti M, ai quali avevamo già accennato nel precedente articolo. Essi consentono di stabilire, per ogni comportamento, il massimo valore di tensione tollerabile in funzione della profondità alla quale si trova il subacqueo. Si tratta di un insieme di rette inclinate nel piano cartesiano Tensione-Profondità, in base alle quali possono essere sviluppate tabelle decompressive o algoritmi da implementare in computer subacquei.

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Anche i famosi Gradient Factor, ovvero fattori di conservatività aggiuntiva rispetto alle rette M, non sono altro che coefficienti di capaci di modificare la posizione o l’inclinazione delle rette M, al fine di rendere più sicura l’immersione. Ognuno di noi è in grado facilmente di modificare questi fattori di conservatività, configurando opportunamente il proprio computer subacqueo oppure il programma di pianificazione di immersione per personal computer.

Questa immagine ha l'attributo alt vuoto; il nome del file è IMG_10701-1024x666.jpg

Potremmo fare tanti altri esempi di come le leggi matematiche pervadano, oltre che la vita di tutti i giorni, le attività subacquee. Un filone interessante è quello delle funzioni statistiche, strumenti applicati a variabili cosiddette aleatorie, che cercano di raggiungere conclusioni generali a partire da un numero ridotto di campioni. Esse servono ad esempio nella valutazione della affidabilità di un certo modello decompressivo utilizzato.  Abbiamo indirettamente introdotto un concetto ricorrente nel modo subacqueo, il modello decompressivo, che ne trascina con se un altro non meno popolare, ma forse un pò più oscuro, l’algoritmo decompressivo.

Dedicherò a questi due concetti cardine la terza ed ultima parte di questo articolo, anticipando che anche questi due ulteriori e fondamentali componenti delle moderne attività subacquee sono una ulteriore testimonianza dello strapotere della matematica nel modellizzare la realtà fisica e consentire immersioni sempre più facili e sicure.

Luca Cicali

 

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2 commenti

  1. Tiziana Zaccaria Tiziana Zaccaria
    04/09/2021    

    Argomento interessante e spiegato in modo semplice ed appassionante.

  2. Tiziana Zaccaria Tiziana Zaccaria
    04/09/2021    

    Davvero interessante ed appassionante come lettura.

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