{"id":62978,"date":"2021-08-30T00:05:00","date_gmt":"2021-08-29T22:05:00","guid":{"rendered":"http:\/\/www.ocean4future.org\/savetheocean\/?p=62978"},"modified":"2023-06-09T21:27:54","modified_gmt":"2023-06-09T19:27:54","slug":"cicala-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ocean4future.org\/savetheocean\/archives\/62978","title":{"rendered":"Crescita esponenziale e saturazione – matematica applicata alla subacquea parte seconda"},"content":{"rendered":"tempo di lettura: <\/span> 8<\/span> minuti<\/span><\/span>

.<\/span><\/p>\nlivello medio<\/span><\/a>\n

.<\/span><\/p>\n

ARGOMENTO:  SUBACQUEA<\/strong><\/span>
\nPERIODO: XXI SECOLO
\nAREA: DIDATTICA<\/strong><\/span>
\nparole chiave: Saturazione, crescita esponenziale, significato
\n,<\/span><\/p>\n

Continuiamo il viaggio iniziato nell\u2019articolo precedente, nel quale abbiamo pi\u00f9 volte sottolineato quanto la matematica abbia un determinante ruolo operativo nel mondo delle immersioni subacquee, consentendo di caratterizzare opportunamente i fenomeni chimico-fisici tipici dell\u2019ambiente iperbarico e quindi di pianificare, stimare, valutare, quantificare, in una sola parola tenere sotto controllo fenomeni complessi con regole semplici e facilmente applicabili. <\/span><\/strong><\/p>\n

Questa disciplina, che quasi magicamente riesce ad interpretare e descrivere il modo fisico, ci pervade in ogni aspetto della vita pi\u00f9 di quanto ce ne rendiamo conto. Simile al blu soffuso che ci circonda e ci avvolge durante la discesa verso il fondale durante una bella immersione in mare.  Avevamo concluso l\u2019articolo precedente accennando alla famosa legge esponenziale<\/span><\/strong>, definendola il cardine della stima della tensione di inerte nei tessuti in immersione sottoposti a variazioni di pressione del gas con il quale sono a contatto, ovvero il gas respirato a pressione iperbarica<\/span><\/strong>. <\/p>\n

Cerchiamo ora di vederci un p\u00f2 pi\u00f9 chiaro, vista la fama e l\u2019importanza dell\u2019argomento.<\/p>\n

\"Questa<\/p>\n

In questo periodo nel quale la parola pandemia<\/span><\/strong> ha sfortunatamente echeggiato nel sottofondo senza quasi mai lasciarci, abbiamo sentito parlare spesso di crescita esponenziale del contagio<\/span><\/strong>. Ci\u00f2 sembra gettare una luce sinistra su tutto ci\u00f2 che ha l\u2019aggettivo esponenziale.<\/p>\n

Abbiamo sentito spesso dire \u201cil contagio \u00e8 entrato nella fase esponenziale\u201d\u2026 Per i pi\u00f9 ci\u00f2 significa in una fase di crescita rapidissima.  La caratteristica fondamentale di una funzione esponenziale \u00e8 infatti avere la variabile,  che si chiama base, come esponente di un numero. Normalmente questa variabile \u00e8 il tempo<\/span><\/strong>. Queste relazioni sono caratterizzate da crescita velocissima della grandezza risultante al variare di tale esponente\u2026 tanto che andamento esponenziale \u00e8 divenuto sinonimo di crescita velocissima e incontrollabile.<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n
\"QuestaFacciamo un breve esempio degli effetti della crescita esponenziale, divertente ma concettualmente rigoroso, raccontando la leggenda indiana di Sissa<\/span><\/strong>, inventore del gioco degli scacchi. Una storia nota a molti e tratta dal libro: \u201cL\u2019uomo che sapeva contare<\/span><\/strong>\u201d, di Malba Tahan<\/span><\/strong>. <\/span>
\nSissa present\u00f2 il gioco al suo Re, che rimase entusiasta del meccanismo e soprattutto del fatto che la vittoria nel gioco dipende dalla armonia tra i pezzi pi\u00f9 importanti e i pezzi secondari. Volle quindi ricompensare Sissa, promettendogli in premio qualunque cosa avesse chiesto.  E Sissa chiese un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, il doppio per la seconda, ancora il doppio per la terza e cos\u00ec via, sempre raddoppiando fino alla casella finale, la sessantaquattresima.  Al Re sembr\u00f2 una richiesta molto modesta. Ma i suoi economi fecero i loro calcoli, rivelando preoccupati che il totale dei chicchi di grano calcolati per l\u2019ultima casella, andando sempre avanti a raddoppiare, \u00e8 pari ad un numero che ha dell\u2019incredibile, precisamente 18.446.744.073.709.600.000, ovvero pi\u00f9 di 18 miliardi di miliardi di chicchi di grano<\/span><\/strong>, che pesano oltre 350 miliardi di tonnellate nell\u2019ipotesi che 50 chicchi pesino un grammo. Provare con la calcolatrice tascabile per credere. Per dare un riscontro, la produzione mondiale di riso del 2020 \u00e8 stata di \u201csoltanto\u201d 774 milioni di tonnellate.  <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Le funzioni esponenziali hanno quindi pieno diritto di essere reputate sinonimo di crescita rapida e incontrollabile.<\/span> <\/strong>Ma tutti sappiamo che per descrivere la crescita dell\u2019azoto disciolto nei tessuti Haldane applic\u00f2 una formula esponenziale, validata ed essenzialmente conservata in tutte le successive elaborazioni, sino ai giorni nostri.  Sappiamo che la quantit\u00e0 di inerte calcolato con questa relazione tende a saturare<\/span><\/strong>, ovvero a stabilizzarsi sul livello raggiunto dopo circa 5-6 semiperiodi, ovvero alcune ore per i tessuti pi\u00f9 lenti. <\/p>\n

\"Questa<\/p>\n

Disegno originale degli studi Haldane – vedete che, raggiunta la profondit\u00e0 massima di una immersione, la quantit\u00e0 di inerte disciolto nei tessuti tende a tende a stabilizzarsi, ovvero giunge alla saturazione senza pi\u00f9 aumentare<\/span><\/strong><\/p>\n

Come mai?  <\/span>
\nAbbiamo detto che possiamo definire la legge esponenziale come una qualunque equazione in cui la variabile indipendente (quella che siamo soliti indicare con la lettera x o ascissa) compare nella funzione matematica come esponente di un numero, detto base.<\/span><\/strong> Una legge simile fu usata per la prima volta per descrivere la variazione della tensione di inerte nei tessuti di un subacqueo da John Scott Haldane<\/span><\/strong> e proprio in base ad essa egli svilupp\u00f2 le prime tabelle decompressive della storia delle attivit\u00e0 subacquee. <\/p>\n

Sappiamo bene per\u00f2 che, raggiunta la profondit\u00e0 massima di una immersione, la quantit\u00e0 di inerte disciolto nei tessuti<\/span> tende a tende a stabilizzarsi, ovvero giunge alla saturazione senza pi\u00f9 aumentare<\/span><\/strong>.  Questa condizione viene raggiunta pi\u00f9 rapidamente dai tessuti cosiddetti veloci, pi\u00f9 lentamente da quelli pi\u00f9 lenti.<\/span><\/strong><\/p>\n

\"Questa<\/p>\n

Una prima riflessione<\/span><\/strong><\/span>
\nLa legge esponenziale, che sta sotto al meccanismo, pare quindi tradire la sua peculiare vocazione di crescita veloce e incontrollabile, che ci ricorda la velocit\u00e0 di diffusione delle epidemie virali.  Il segreto di questa \u201cmutazione genetica\u201d sta nei dettagli o meglio nei segni.  E\u2019 un piccolo segno meno che stravolge l\u2019aspettativa che abbiamo dalla funzione esponenziale utilizzata da Haldane, rendendola a crescita controllabile, o meglio, a crescita saturabile\u2026.  Pur restando a tutti gli effetti una funzione esponenziale\u2026<\/p>\n

Ecco qualche premessa per capire. <\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n
Elevare un numero a potenza, ovvero dargli un esponente, significa moltiplicarlo per se stesso tante volte quanto \u00e8 indicato dell\u2019esponente.   Ad esempio:<\/span>
\n5 2<\/sup> = 5 x 5 = 25;                    4 3<\/sup> = 4 x 4 x 4 = 32, e cos\u00ec via.
\nOra consideriamo la funzione esponenziale   Y = 3 x<\/sup>.  La variabile x \u00e8 l\u2019esponente di 3, quindi il risultato della funzione, (il valore di Y), si ottiene  moltiplicando 3 per se stesso \u201cx\u201d volte. <\/span>
\nIl valore di Y varier\u00e0 quindi al variare di x, ad esempio: <\/span>
\nper x= 2   \u2192  Y = 3 2<\/sup> = 9;<\/span>
\nper x= 3   \u2192  Y = 3 3<\/sup> = 27;<\/span>
\nper x= 4   \u2192  Y = 3 4<\/sup> = 81;e cos\u00ec via ..<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Pu\u00f2 un esponente essere negativo? E se si, cosa comporta?<\/span><\/strong>
\nQuando una base \u00e8 elevata a potenza negativa, essa equivale ad una frazione che ha 1 al numeratore e al denominatore la stessa base elevata a potenza positiva.<\/p>\n

Ovvero ad esempio:  3 -4<\/sup> = 1\/(3 4<\/sup>);     2 -x<\/sup> = 1\/(2 x<\/sup>),    \u2026 e  cos\u00ec via\u2026<\/p>\n

Ci\u00f2 comporta che all\u2019aumentare dell\u2019esponente, il risultato della frazione anzich\u00e9 diventare sempre pi\u00f9 grande, diviene via via pi\u00f9 piccolo, avvicinandosi sempre pi\u00f9 lentamente a zero.
\n<\/span><\/strong>
\nLa funzione esponenziale che descrive la variazione del livello di inerte<\/span><\/strong> nei tessuti durante una immersione, contiene un fattore che ha per esponente il tempo trascorso dall\u2019inizio della fase di compressione<\/span><\/strong>, ma che ha davanti un segno meno<\/strong>.<\/span> Esso quindi, allo scorrere del tempo, tende a diventare nullo. Ci\u00f2 fa si che la tensione di inerte nei tessuti non cresca sempre pi\u00f9 velocemente nel tempo, ma aumenti sempre pi\u00f9 lentamente avvicinandosi al valore di saturazione, un limite che non pu\u00f2 superare se si rimane a profondit\u00e0 costante.  Questo singolare andamento della equazione di Haldane deriva dalla caratteristica fondamentale del processo di miscelazione dei gas nei liquidi: la velocit\u00e0 di variazione della tensione \u00e8 tanto maggiore quanto il valore gi\u00e0 raggiunto dalla tensione \u00e8 basso rispetto alla pressione ambiente, (P-T). <\/p>\n

Appena ci immergiamo e raggiungiamo velocemente la profondit\u00e0 massima abbiamo una elevata pressione ambiente (P)<\/span><\/strong> e una tensione nei tessuti (T)<\/span><\/strong> scarsa. (P-T) \u00e8 quindi un valore elevato, perci\u00f2 la tensione<\/span><\/strong> cresce velocemente.  Ma via via che la tensione di inerte nei tessuti T aumenta, la quantit\u00e0 (P-T) si riduce, e corrispondentemente si riduce la velocit\u00e0 con cui T cresce. Questa legge matematica che mette in relazione una grandezza (la Tensione) e la sua velocit\u00e0 di variazione, prende il nome di equazione differenziale<\/span><\/strong>.  La soluzione di questa equazione, utilizzata da Haldane, \u00e8 proprio la legge di esponenziale, che contiene la variabile tempo<\/em> (t)<\/span><\/strong> come esponente, con segno meno, di una base fissa, pari a 2,71, il famoso numero di Nepero. La stessa equazione di Haldane regola sia la fase di aumento della tensione nei tessuti che la fase di diminuzione, impropriamente definite rispettivamente come fasi di saturazione e desaturazione.<\/span><\/strong><\/p>\n

La legge di Haldane ha delle caratteristiche quasi magiche<\/span><\/strong><\/span>. Intanto essa regola nello stesso modo tanti altri fenomeni fisici, che nulla hanno a che vedere son il livello di inerte nei tessuti di un subacqueo in immersione; ad esempio i processi di soluzione, diffusione, variazione di temperatura di un corpo a contatto di una sorgente termica, le variazioni di tensione di condensatori elettrici e di corrente in bobine elettriche, alcune importanti distribuzioni statistiche, il decadimento radioattivo, e cos\u00ec via. <\/p>\n

\"QuestaIl modo nel quale la tensione nel tessuto varia, obbedendo alla legge esponenziale, \u00e8 singolare e tipico. Esiste infatti un intervallo di tempo ben preciso, detto semiperiodo, trascorso il quale la tensione risulta aumentata della met\u00e0 di quanto fatto nel semiperiodo precedente, ma che \u00e8 anche pari alla met\u00e0 di quanto ancora manca per raggiungere la completa saturazione. Trascorso un altro semiperiodo, questa regola vale ancora, e cos\u00ec via, all\u2019infinito. Ed \u00e8 proprio il semiperiodo che caratterizza univocamente un compartimento tissutale, un geniale espediente con il quale si riesce a tener conto con sufficiente realismo delle differenti velocit\u00e0 nell\u2019assorbimento e rilascio di azoto da parte dei tessuti dell\u2019organismo umano.<\/span><\/strong><\/p>\n

\"Questa<\/p>\n

Nella seconda met\u00e0 del secolo scorso, i ricercatori Workmann e Buhlmann<\/span><\/strong>, (in realt\u00e0 anche lo stesso Haldane) erano riusciti a sintetizzare gli effetti della curva esponenziale tramite funzioni lineari molto pi\u00f9 semplici e immediate da gestire operativamente, i limiti M<\/span><\/strong>, ai quali avevamo gi\u00e0 accennato nel precedente articolo. Essi consentono di stabilire, per ogni comportamento, il massimo valore di tensione tollerabile in funzione della profondit\u00e0 alla quale si trova il subacqueo<\/span><\/strong>. Si tratta di un insieme di rette inclinate nel piano cartesiano Tensione-Profondit\u00e0, in base alle quali possono essere sviluppate tabelle decompressive o algoritmi da implementare in computer subacquei.<\/p>\n

\"Questa<\/p>\n

Anche i famosi Gradient Factor<\/span><\/strong>, ovvero fattori di conservativit\u00e0 aggiuntiva rispetto alle rette M, non sono altro che coefficienti di capaci di modificare la posizione o l\u2019inclinazione delle rette M, al fine di rendere pi\u00f9 sicura l\u2019immersione. Ognuno di noi \u00e8 in grado facilmente di modificare questi fattori di conservativit\u00e0, configurando opportunamente il proprio computer subacqueo oppure il programma di pianificazione di immersione per personal computer.<\/span><\/strong><\/p>\n

\"Questa<\/p>\n

Potremmo fare tanti altri esempi di come le leggi matematiche pervadano, oltre che la vita di tutti i giorni, le attivit\u00e0 subacquee. Un filone interessante \u00e8 quello delle funzioni statistiche, strumenti applicati a variabili cosiddette aleatorie, che cercano di raggiungere conclusioni generali a partire da un numero ridotto di campioni. Esse servono ad esempio nella valutazione della affidabilit\u00e0 di un certo modello decompressivo utilizzato.  Abbiamo indirettamente introdotto un concetto ricorrente nel modo subacqueo, il modello decompressivo<\/span><\/strong>, che ne trascina con se un altro non meno popolare, ma forse un p\u00f2 pi\u00f9 oscuro, l\u2019algoritmo decompressivo<\/span><\/strong>.<\/p>\n

Dedicher\u00f2 a questi due concetti cardine la terza ed ultima parte di questo articolo, anticipando che anche questi due ulteriori e fondamentali componenti delle moderne attivit\u00e0 subacquee sono una ulteriore testimonianza dello strapotere della matematica nel modellizzare la realt\u00e0 fisica e consentire immersioni sempre pi\u00f9 facili e sicure.<\/p>\n

Luca Cicali<\/span><\/strong><\/p>\n

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Alcune delle foto presenti in questo blog possono essere state prese dal web, citandone ove possibile gli autori e\/o le fonti. Se qualcuno desiderasse specificarne l\u2019autore o rimuoverle, pu\u00f2 scrivere a infoocean4future@gmail.com e provvederemo immediatamente alla correzione dell\u2019articolo
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PAGINA PRINCIPALE<\/span><\/a>
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PARTE I<\/span><\/a> PARTE II<\/span><\/a> PARTE III<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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