{"id":62180,"date":"2021-08-23T00:05:00","date_gmt":"2021-08-22T22:05:00","guid":{"rendered":"http:\/\/www.ocean4future.org\/savetheocean\/?p=62180"},"modified":"2023-06-09T21:25:50","modified_gmt":"2023-06-09T19:25:50","slug":"dio-e-un-matematico-anche-sottacqua-parte-prima","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ocean4future.org\/savetheocean\/archives\/62180","title":{"rendered":"Dio \u00e8 un matematico, anche sott\u2019acqua – matematica applicata alla subacquea parte prima\u00a0"},"content":{"rendered":"tempo di lettura: <\/span> 8<\/span> minuti<\/span><\/span>

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livello medio<\/span><\/a><\/p>\n

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ARGOMENTO: SUBACQUEA<\/span><\/strong>
PERIODO: XXI SECOLO<\/span><\/strong>
AREA: DIDATTICA<\/span><\/strong>
parole chiave: matematica applicata alla subacquea<\/p>\n

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\u201cCome \u00e8 possibile che la matematica, un prodotto della mente umana, pur essendo indipendente dall\u2019esperienza, si accordi tanto bene agli oggetti della realt\u00e0 fisica? Le formule e le forme geometriche, elaborate sullo slancio della speculazione pura, riescono a descrivere con precisione il mondo che ci circonda. Quale \u00e8 il mistero di tanta \u201cirragionevole efficacia\u201d?<\/em><\/span><\/strong><\/p>\n

\"Questa<\/p>\n

Cos\u00ec recita la riflessione inserita nel risvolto della sovraccoperta di un libro affascinante, pubblicato nel 2010 da Mario Livio<\/span><\/strong>, astrofisico di fama internazionale, e intitolato in modo provocatorio e sibillino \u201cDio \u00e8 un matematico<\/span><\/strong>\u201d. Come possiamo facilmente immaginare non si tratta di un testo di teologia, e tantomeno della confessione della propria fede in qualche religione. Rappresenta invece una costatazione maturata in base all\u2019esperienza di studioso. L\u2019autore sostiene infatti che \u2026 \u201csecoli di interrogativi non sono bastati a dissipare il mistero della perfetta corrispondenza tra speculazione matematica e realt\u00e0 fisica, ma ci hanno regalato almeno una certezza: se Dio esiste, di sicuro \u00e8 un matematico integralista<\/span><\/strong>\u201d. <\/p>\n

\"Questa<\/p>\n

Siamo appassionati subacquei e la sfida che oggi propongo \u00e8 quella di arrenderci all\u2019incontestabile verit\u00e0 che anche sott\u2019acqua l\u2019efficacia divina delle leggi matematiche si esprime pienamente. Ad esempio consentendoci di affidare la nostra sicurezza ad algoritmi e calcoli matematici eseguiti da un computer subacqueo o mandati a memoria, oppure, il che \u00e8 lo stesso, obbedendo a tabelle decompressive implementate in base ad analoghi calcoli, da applicare in immersione.<\/span><\/strong> Partiamo dunque per questo breve viaggio che spero risulti interessante\u2026.<\/p>\n

La matematica per la subacquea<\/span><\/strong>
Abbiamo ogni giorno a che fare con funzioni matematiche, e ci\u00f2 vale anche per chi pensa di essere completamente a digiuno di questo tipo di conoscenze.  Esse pervadono infatti la nostra esistenza. <\/p>\n

Ma cosa \u00e8 una funzione matematica? <\/span> <\/strong>E\u2019 una regola capace di associare in modo univoco tutti gli elementi appartenenti ad un insieme di \u201cpartenza\u201d, agli elementi di un altro insieme di \u201carrivo\u201d.  Vogliamo sapere quanti litri di gas a pressione atmosferica possiamo estrarre da una bombola? Moltiplichiamo la pressione del gas contenuto nella bombola per il suo volume interno. Vogliamo calcolare lo sconto del 20% sul prezzo dell\u2019erogatore che stiamo per acquistare? Moltiplichiamo il prezzo per 20 e lo dividiamo per 100.  <\/p>\n

Di fatto, quasi senza accorgercene, applichiamo costantemente delle leggi matematiche per risolvere problemi semplici, ma spesso non ci rendiamo conto di quanto magicamente la matematica sia capace di descrivere efficacemente il mondo fisico, e di fornire dei sistemi predittivi del valore che grandezze fisiche assumeranno allo scorrere del tempo.<\/span><\/strong><\/p>\n

Tutte le funzioni matematiche che utilizziamo mettono in relazione una cosiddetta variabile indipendente<\/span><\/strong> (l\u2019elemento dell\u2019insieme di partenza) con una variabile dipendente<\/span><\/strong> (l\u2019elemento dell\u2019insieme di arrivo).  Se i due insiemi sono numeri reali disposti lungo degli assi cartesiani, ogni funzione matematica assocer\u00e0 punti dell\u2019asse x (ascisse) a punti dell\u2019asse y (ordinate).<\/p>\n

\"Questa
esempio della rappresentazione di una funzione lineare, una retta … al valore x=0 corrisponde il valore Y=-2<\/span><\/strong><\/figcaption><\/figure>\n

Le pi\u00f9 semplici funzioni matematiche sono dette lineari<\/span><\/strong>, e tutte quelle che abbiamo elencato sinora come esempi sono proprio funzioni lineari<\/strong><\/span>.  Si chiamano cos\u00ec perch\u00e9 la corrispondenza tra ascisse e ordinate \u00e8 rappresentata da una retta<\/span><\/strong>. Ad esempio, i famosi valori<\/span> M di Buhlmann come quelli di Workmann sono rette,<\/span><\/strong> in cui l\u2019ascissa \u00e8 il valore della profondit\u00e0\/pressione assoluta<\/span><\/strong> e l\u2019ordinata \u00e8 la massima tensione di inerte che un compartimento pu\u00f2 sopportare a tale profondit\u00e0<\/span><\/strong>.  <\/p>\n

\"Questa
le funzioni M di Workmann e di Buhlmann sono rette che hanno pendenze diverse<\/span><\/strong><\/figcaption><\/figure>\n

Ma abbiamo anche altre funzioni, pi\u00f9 complesse, il cui nome \u00e8 legato alla particolare relazione matematica che le contraddistingue. Abbiamo anche una notissima equazione iperbolica, che lega tra loro pressione e volume: la legge di Boyle<\/span><\/strong>. La vedremo di seguito.<\/p>\n

\"Questa<\/p>\n

La regina delle equazioni matematiche del subacqueo \u00e8 la legge esponenziale, ovvero <\/span>la soluzione di una particolare equazione chiamata differenziale<\/span><\/strong>. <\/p>\n

Ma quante sono le funzioni matematiche di vero interesse nelle attivit\u00e0 subacquee?
<\/span><\/strong>Moltissime. Tra esse le pi\u00f9 semplici sono funzioni lineari: ovvero sono rappresentate da una retta negli assi cartesiani.  Proviamo a fare un breve elenco e vedrete che resterete meravigliati.<\/p>\n

Come sappiamo via via che aumentiamo la profondit\u00e0 la pressione aumenta.  Di quanto? E in che modo?  Possiamo aspettarci che il tasso di aumento sia lineare, perch\u00e9 l\u2019acqua \u00e8 un liquido incomprimibile, la cui densit\u00e0 non varia con la profondit\u00e0.  Se la legge \u00e8 lineare, si tratta di una retta e per trovare una retta bastano solo 2 punti.   Troviamo il primo: alla superficie del mare la pressione \u00e8 quella atmosferica, quindi 1 bar\/atm.<\/p>\n\n\"Questa\n\n

Il primo punto \u00e8 quindi dato da: profondit\u00e0 = 0 metri con una  Pressione in superficie di 1 bar\/atm.  Alla profondit\u00e0 di 10 metri avremo (circa) 2 bar, essendo la pressione totale aumentata di 1 bar\/atm, quindi di un decimo della profondit\u00e0.  Essendo la legge lineare la progressione continuer\u00e0 da 10 a 20 metri, da 20 a 30 e cos\u00ec via.  La legge finale sar\u00e0: Pressione totale= 1 + (profondit\u00e0\/10); legge che possiamo facilmente invertire se vogliamo calcolare la profondit\u00e0 che corrisponde ad una certa pressione:  Profondit\u00e0 = (Pressione totale  x 10) -10<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n

Dopo questo semplice ed immediato esempio, passiamo ai famosi limiti M inventati da Wormann e successivamente rielaborati dal prof. Buhlmann: una pietra miliare della teoria decompressiva, che ha consentito lo sviluppo e la diffusione planetaria dei computer subacquei.  Il limite M<\/span><\/strong> \u00e8 la massima tensione di gas inerte disciolto nei tessuti che un subacqueo pu\u00f2 sopportare senza incorrere in problemi embolici. Workmann teorizz\u00f2 che questo valore dipende dalla profondit\u00e0 alla quale ci si trova.  In che modo? La risposta \u00e8 in maniera lineare. Il valore M \u00e8 tanto maggiore quanto maggiore \u00e8 la profondit\u00e0, quindi pi\u00f9 siamo fondi e pi\u00f9 tolleriamo l\u2019inerte.
<\/span>
<\/strong>Ecco il perch\u00e9:<\/p>\n

M = Mo + \u2206M x profondit\u00e0<\/em><\/span><\/strong><\/p>\n

M0 e \u2206M sono valori fissi, dei semplici parametri numerici, che dipendono solo dal compartimento considerato e che possiamo ricavare dalle tabelle del modello di B\u00fchlmann<\/span><\/strong>. <\/p>\n\n\"Questa\n\n

Notate che la tabella riporta tre modelli ZHL-16 ovvero il  ZH-L16A (algoritmo originale a 16 compartimenti con nessun conservatorismo); ZHL-16B: l’algoritmo sempre a 16 compartimenti modificato per tabelle, utilizzando valori \u201ca\u201d leggermente pi\u00f9 conservativi, principalmente nei compartimenti centrali, utilizzato in alcuni computer subacquei con unit\u00e0 processore ad alte prestazioni. Quest’ultimo \u00e8 pi\u00f9 flessibile (soprattutto nelle immersioni tecniche) rispetto allo ZHL-16C, sempre a 16 compartimenti con ulteriore modifica dei valori “a” intermedi e pi\u00f9 veloci, e destinato ad essere utilizzato come “pacchetto” nei computer subacquei. <\/span><\/strong><\/p>\n\n\n

Ad esempio per il compartimento 4 del set chiamato ZH-L16 si ha la seguente relazione:<\/p>\n

M = 2,03 + 0,12780 x profondit\u00e0<\/em><\/p>\n

Vogliamo sapere quale \u00e8 la massima tensione di inerte tollerabile a 20 metri di profondit\u00e0 in mare per il compartimento 4? Facile.<\/p>\n

M = 2,03 + 1,12780 x 20      =    2.03 + 2.56 = 4.59<\/span><\/strong> bar<\/p>\n

Quale \u00e8 la massima tensione di inerte ammissibile<\/span><\/strong>, sempre nel caso del compartimento 4, se non vogliamo uscire dalla curva di sicurezza<\/span><\/strong>? <\/p>\n

Ancora pi\u00f9 semplice: poniamo a zero la profondit\u00e0 ottenendo:<\/p>\n

M = 2,03 + 1,128 x 0      =    2.03 <\/span><\/strong> bar<\/p>\n

\"Questa<\/p>\n

Abbiamo altre relazioni lineari importanti?<\/span>
<\/strong><\/span>Si, molte fortunatamente, perch\u00e9 sono relazioni molto semplici da capire ed altrettanto da utilizzare. C\u2019\u00e8 per\u00f2 una prima complicazione: quando le variabili indipendenti sono due, le cose si complicano. Ma possiamo ricondurre queste relazioni ad una sola variabile indipendente fissando il valore dell\u2019altra, ottenendo in molti casi una relazione lineare. <\/p>\n

Prendiamo ad esempio la legge di Dalton, che ci fornisce la pressione parziale di un gas componente di una miscela (per esempio l\u2019aria) in funzione della sola pressione totale della miscela, P<\/span><\/strong>.  <\/p>\n

PP Ossigeno = 0,21 x P che si legge pressione parziale dell’ossigeno  \u00e8 dato dalla percentuale dell’ossigeno alla pressione totale. In superficie P sar\u00e0 uguale ad 1 per cui la pressone parziale dell’ossigeno sar\u00e0 0,21. Ma alla profondit\u00e0 di 10 metri, la pressione totale sar\u00e0 2 per cui il valore diverr\u00e0 0,42. Nel caso specifico, \u00e8 un valore da considerare attentamente per motivi di sicurezza.<\/p>\n

Per ottenere questa semplice relazione lineare abbiamo fissato il parametro della legge di Dalton dell’ossigeno a 0,21, la frazione volumetrica dell\u2019ossigeno nell\u2019aria. Quindi respirando aria a 30 metri di profondit\u00e0 la pressione parziale di ossigeno diverr\u00e0:<\/p>\n

PP (Ossigeno) = 0,21 x 4 = 0,64 bar.  (perch\u00e9 la pressione a 30 mt \u00e8 4 bar ricordate 30mt\/10 +1=4)<\/p>\n

Quello di fissare un parametro e ridurre il numero di variabili \u00e8 un trucco che applichiamo a tante altre relazioni utili nel mondo delle immersioni, che consentono ad esempio di calcolare:<\/p>\n