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Dio è un matematico, anche sott’acqua – matematica applicata alla subacquea parte prima 

Reading Time: 8 minutes

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livello medio

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ARGOMENTO: SUBACQUEA
PERIODO: XXI SECOLO
AREA: DIDATTICA
parole chiave: matematica applicata alla subacquea

 

“Come è possibile che la matematica, un prodotto della mente umana, pur essendo indipendente dall’esperienza, si accordi tanto bene agli oggetti della realtà fisica? Le formule e le forme geometriche, elaborate sullo slancio della speculazione pura, riescono a descrivere con precisione il mondo che ci circonda. Quale è il mistero di tanta “irragionevole efficacia”?

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Così recita la riflessione inserita nel risvolto della sovraccoperta di un libro affascinante, pubblicato nel 2010 da Mario Livio, astrofisico di fama internazionale, e intitolato in modo provocatorio e sibillino “Dio è un matematico”. Come possiamo facilmente immaginare non si tratta di un testo di teologia, e tantomeno della confessione della propria fede in qualche religione. Rappresenta invece una costatazione maturata in base all’esperienza di studioso. L’autore sostiene infatti che … “secoli di interrogativi non sono bastati a dissipare il mistero della perfetta corrispondenza tra speculazione matematica e realtà fisica, ma ci hanno regalato almeno una certezza: se Dio esiste, di sicuro è un matematico integralista”. 

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Siamo appassionati subacquei e la sfida che oggi propongo è quella di arrenderci all’incontestabile verità che anche sott’acqua l’efficacia divina delle leggi matematiche si esprime pienamente. Ad esempio consentendoci di affidare la nostra sicurezza ad algoritmi e calcoli matematici eseguiti da un computer subacqueo o mandati a memoria, oppure, il che è lo stesso, obbedendo a tabelle decompressive implementate in base ad analoghi calcoli, da applicare in immersione. Partiamo dunque per questo breve viaggio che spero risulti interessante….

La matematica per la subacquea
Abbiamo ogni giorno a che fare con funzioni matematiche, e ciò vale anche per chi pensa di essere completamente a digiuno di questo tipo di conoscenze.  Esse pervadono infatti la nostra esistenza. 

Ma cosa è una funzione matematica?  E’ una regola capace di associare in modo univoco tutti gli elementi appartenenti ad un insieme di “partenza”, agli elementi di un altro insieme di “arrivo”.  Vogliamo sapere quanti litri di gas a pressione atmosferica possiamo estrarre da una bombola? Moltiplichiamo la pressione del gas contenuto nella bombola per il suo volume interno. Vogliamo calcolare lo sconto del 20% sul prezzo dell’erogatore che stiamo per acquistare? Moltiplichiamo il prezzo per 20 e lo dividiamo per 100.  

Di fatto, quasi senza accorgercene, applichiamo costantemente delle leggi matematiche per risolvere problemi semplici, ma spesso non ci rendiamo conto di quanto magicamente la matematica sia capace di descrivere efficacemente il mondo fisico, e di fornire dei sistemi predittivi del valore che grandezze fisiche assumeranno allo scorrere del tempo.

Tutte le funzioni matematiche che utilizziamo mettono in relazione una cosiddetta variabile indipendente (l’elemento dell’insieme di partenza) con una variabile dipendente (l’elemento dell’insieme di arrivo).  Se i due insiemi sono numeri reali disposti lungo degli assi cartesiani, ogni funzione matematica assocerà punti dell’asse x (ascisse) a punti dell’asse y (ordinate).

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esempio della rappresentazione di una funzione lineare, una retta … al valore x=0 corrisponde il valore Y=-2

Le più semplici funzioni matematiche sono dette lineari, e tutte quelle che abbiamo elencato sinora come esempi sono proprio funzioni lineari.  Si chiamano così perché la corrispondenza tra ascisse e ordinate è rappresentata da una retta. Ad esempio, i famosi valori M di Buhlmann come quelli di Workmann sono rette, in cui l’ascissa è il valore della profondità/pressione assoluta e l’ordinata è la massima tensione di inerte che un compartimento può sopportare a tale profondità.  

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le funzioni M di Workmann e di Buhlmann sono rette che hanno pendenze diverse

Ma abbiamo anche altre funzioni, più complesse, il cui nome è legato alla particolare relazione matematica che le contraddistingue. Abbiamo anche una notissima equazione iperbolica, che lega tra loro pressione e volume: la legge di Boyle. La vedremo di seguito.

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La regina delle equazioni matematiche del subacqueo è la legge esponenziale, ovvero la soluzione di una particolare equazione chiamata differenziale

Ma quante sono le funzioni matematiche di vero interesse nelle attività subacquee?
Moltissime. Tra esse le più semplici sono funzioni lineari: ovvero sono rappresentate da una retta negli assi cartesiani.  Proviamo a fare un breve elenco e vedrete che resterete meravigliati.

Come sappiamo via via che aumentiamo la profondità la pressione aumenta.  Di quanto? E in che modo?  Possiamo aspettarci che il tasso di aumento sia lineare, perché l’acqua è un liquido incomprimibile, la cui densità non varia con la profondità.  Se la legge è lineare, si tratta di una retta e per trovare una retta bastano solo 2 punti.   Troviamo il primo: alla superficie del mare la pressione è quella atmosferica, quindi 1 bar/atm.

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Il primo punto è quindi dato da: profondità = 0 metri con una  Pressione in superficie di 1 bar/atm.  Alla profondità di 10 metri avremo (circa) 2 bar, essendo la pressione totale aumentata di 1 bar/atm, quindi di un decimo della profondità.  Essendo la legge lineare la progressione continuerà da 10 a 20 metri, da 20 a 30 e così via.  La legge finale sarà: Pressione totale= 1 + (profondità/10); legge che possiamo facilmente invertire se vogliamo calcolare la profondità che corrisponde ad una certa pressione:  Profondità = (Pressione totale  x 10) -10

Dopo questo semplice ed immediato esempio, passiamo ai famosi limiti M inventati da Wormann e successivamente rielaborati dal prof. Buhlmann: una pietra miliare della teoria decompressiva, che ha consentito lo sviluppo e la diffusione planetaria dei computer subacquei.  Il limite M è la massima tensione di gas inerte disciolto nei tessuti che un subacqueo può sopportare senza incorrere in problemi embolici. Workmann teorizzò che questo valore dipende dalla profondità alla quale ci si trova.  In che modo? La risposta è in maniera lineare. Il valore M è tanto maggiore quanto maggiore è la profondità, quindi più siamo fondi e più tolleriamo l’inerte.

Ecco il perché:

M = Mo + ∆M x profondità

M0 e ∆M sono valori fissi, dei semplici parametri numerici, che dipendono solo dal compartimento considerato e che possiamo ricavare dalle tabelle del modello di Bühlmann

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Notate che la tabella riporta tre modelli ZHL-16 ovvero il  ZH-L16A (algoritmo originale a 16 compartimenti con nessun conservatorismo); ZHL-16B: l’algoritmo sempre a 16 compartimenti modificato per tabelle, utilizzando valori “a” leggermente più conservativi, principalmente nei compartimenti centrali, utilizzato in alcuni computer subacquei con unità processore ad alte prestazioni. Quest’ultimo è più flessibile (soprattutto nelle immersioni tecniche) rispetto allo ZHL-16C, sempre a 16 compartimenti con ulteriore modifica dei valori “a” intermedi e più veloci, e destinato ad essere utilizzato come “pacchetto” nei computer subacquei. 

Ad esempio per il compartimento 4 del set chiamato ZH-L16 si ha la seguente relazione:

M = 2,03 + 0,12780 x profondità

Vogliamo sapere quale è la massima tensione di inerte tollerabile a 20 metri di profondità in mare per il compartimento 4? Facile.

M = 2,03 + 1,12780 x 20      =    2.03 + 2.56 = 4.59 bar

Quale è la massima tensione di inerte ammissibile, sempre nel caso del compartimento 4, se non vogliamo uscire dalla curva di sicurezza

Ancora più semplice: poniamo a zero la profondità ottenendo:

M = 2,03 + 1,128 x 0      =    2.03  bar

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Abbiamo altre relazioni lineari importanti?
Si, molte fortunatamente, perché sono relazioni molto semplici da capire ed altrettanto da utilizzare. C’è però una prima complicazione: quando le variabili indipendenti sono due, le cose si complicano. Ma possiamo ricondurre queste relazioni ad una sola variabile indipendente fissando il valore dell’altra, ottenendo in molti casi una relazione lineare. 

Prendiamo ad esempio la legge di Dalton, che ci fornisce la pressione parziale di un gas componente di una miscela (per esempio l’aria) in funzione della sola pressione totale della miscela, P.  

PP Ossigeno = 0,21 x P che si legge pressione parziale dell’ossigeno  è dato dalla percentuale dell’ossigeno alla pressione totale. In superficie P sarà uguale ad 1 per cui la pressone parziale dell’ossigeno sarà 0,21. Ma alla profondità di 10 metri, la pressione totale sarà 2 per cui il valore diverrà 0,42. Nel caso specifico, è un valore da considerare attentamente per motivi di sicurezza.

Per ottenere questa semplice relazione lineare abbiamo fissato il parametro della legge di Dalton dell’ossigeno a 0,21, la frazione volumetrica dell’ossigeno nell’aria. Quindi respirando aria a 30 metri di profondità la pressione parziale di ossigeno diverrà:

PP (Ossigeno) = 0,21 x 4 = 0,64 bar.  (perché la pressione a 30 mt è 4 bar ricordate 30mt/10 +1=4)

Quello di fissare un parametro e ridurre il numero di variabili è un trucco che applichiamo a tante altre relazioni utili nel mondo delle immersioni, che consentono ad esempio di calcolare:

  • la profondità equivalente ad aria che si usa per il calcolo delle miscele nitrox;
  • la quota della prima tappa decompressiva in funzione dell’inerte accumulato;
  • Il calcolo dei due parametri di interesse fondamentale nella pianificazione di immersioni nitrox, (frazione di ossigeno e massima pressione parziale di ossigeno);

e così via….

Non ultima la legge di Boyle

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la legge di Boyle: P x V = costante

Tutti conosciamo la legge di Boyle, che lega volume e pressione a temperatura costante.  Ma questa legge è di proporzionalità inversa e non diretta. Ovvero le due grandezze pressione e volume sono tali che il loro prodotto è costante (P x V = costante), ciò significa che all’aumentare dell’una si registra il diminuire dell’altra.  In questo caso non abbiamo a che fare con una retta ma con una iperbole equilatera

Una relazione iperbolica, ovvero di proporzionalità inversa, ha effetti meno intuitivi di una relazione di proporzionalità diretta, ma comunque facilmente comprensibili.  La legge di Boyle ci dice quindi che più aumenta la pressione su un gas più il volume che esso occupa è costretto a contrarsi , quindi a diminuire.  Pressione alta volume minore, pressione bassa volume maggiore.

La legge esponenziale: una funzione matematica da comprendere bene
Ci stiamo girando intorno ma a nessuno sarà sfuggito che la legge fondamentale del subacqueo è la legge esponenziale, quella che troviamo in tutti i computer e serve a calcolare, o meglio a stimare, la quantità di inerte disciolto nei tessuti in funzione del profilo di immersione. 

Si tratta di una funzione molto popolare anche nel linguaggio comune che è usata spesso come sinonimo di crescita veloce e incontrollabile, resa tristemente ancor più popolare durante le fasi più critiche della pandemia da Coronavirus, spesso citata (sovente a sproposito) per sottolineare la rapidità di crescita del contagio delle varie ondate.

Sappiamo che una funzione esponenziale è il cardine della stima della tensione di inerte nei tessuti in immersione, sottoposti a variazioni di pressione del gas con il quale sono a contatto, ovvero il gas respirato a pressione iperbarica. E sappiamo che la quantità di inerte calcolato con questa relazione tende a saturare, ovvero a stabilizzarsi, piuttosto che crescere in modo incontrollato, dopo circa 5-6 semiperiodi, con tempi diversi in funzione dei tessuti. Come mai?  Cercheremo di svelare questo mistero nel seguito di questo articolo, a presto.

Fine I parte – continua

Luca Cicali

 

 

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